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【学习笔记】ARC144

2022-07-20 06:40:00 【仰望星空的蚂蚁】

没办法只能vp了

K Derangement

  • arc 的题找规律风险还是蛮大的
  • 显然我们要按 n n n, K K K分类讨论
  • 不难发现 n = 2 K n=2K n=2K时存在最优构造
  • 显然 n ≥ 2 K n\ge 2K n≥2K时有解
  • 因此递归构造即可
  • 我来浅证一下 n ∈ [ 2 K , 4 K ) n\in [2K,4K) n∈[2K,4K) 时结论的正确性
  • 假设 n ∈ [ 2 K , 3 K ] n\in [2K,3K] n∈[2K,3K]
  • 首先给出构造 ( K + 1 , . . , n , ∣ 1 , 2 , . . . , K ) (K+1,..,n,|1,2,...,K) (K+1,..,n,∣1,2,...,K)
  • 如果我交换前半段和后半段的数
  • 前半段的数会被挤到后半段去
  • 这个数至少是 2 K + 1 2K+1 2K+1
  • 显然在 [ n − K + 1 , n ] [n-K+1,n] [n−K+1,n]中不存在解
  • 假设 n ∈ ( 3 K , 4 K ] n\in (3K,4K] n∈(3K,4K]
  • 可以将前半部分和后半部分交换一段
  • 给出构造 ( K + 1 , . . . , 2 K , 1 , . . . , n − 3 K , n − K + 1 , . . . , n , ∣ n − 3 K + 1 , . . . , K , 2 K + 1 , . . . , n − K ) (K+1,...,2K,1,...,n-3K,n-K+1,...,n,|n-3K+1,...,K,2K+1,...,n-K) (K+1,...,2K,1,...,n−3K,n−K+1,...,n,∣n−3K+1,...,K,2K+1,...,n−K)
  • 注意到如果我们把 n − 3 K + 1 n-3K+1 n−3K+1换到前面去的话，至少会把 n − K + 1 n-K+1 n−K+1换到后面去
  • 显然是无解的
  • 话说为什么我要证得这么详细

AND OR Equation

GCD of Path Weights

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