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证明完全数都是偶数

2022-07-19 01:20:00 【valark】

完全数定义

完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。
例如： $1 + 2 + 3 = 6$

证明

若证完全数都是偶数，即证完全数非奇数
假设存在奇数是完全数，设其为 $x$
设 $x$ 的因子集合为 $X$ ， $x$ 的真因子集合为 $X^{'}$ ， $X'=X-\{x\}$ ， $y=\sum X'$ ，奇数集为 $U$ ，则有 $\subset U$

取 $U$ 子集 $U_n$ ，且 $n\in U,n\ge3$ ，其中 $U_n=\{1,3,5,...,n\},X\sub U_n$
由于 $x = 1$ 时 $X^{'}$ 为空集，故此时 $x$ 不为完全数，所以从 $n\ge 3$ 的情况来讨论
对于给定的集合 $X$ 有 $x=\prod X$
若 $x > y$ ，假设 $x\cdot k\le y+k$ ，则 $k\le {y\over x} + 1 \lt 2$
此时 $\forall x_{sub} \in X,x_{sub}\ge3,x_{sub} \cdot x >x_{sub}+y$ ，所以对于给定的集合 $X$ 只需要讨论 $x=\prod X$ 的情况

当 $n = 3$ 时，有：
$\{1\},x=1,X'=\emptyset$ ，故此时 $x$ 不为完全数
$\{1,3\},x=3,X'=\{1\},y=1,x\gt y$ ，故此时 $x$ 不为完全数
则对 $\forall X \sub U_3,x$ 不为完全数
当 $n = 5$ 时，有：
$\{1,5\},x=5,X'=\{1\},y=1,x\gt y$ ，故此时 $x$ 不为完全数
$\{1,3,5\},x=15,X'=\{1,3,5\},y=9,x\gt y$ ，故此时 $x$ 不为完全数
则对 $\forall X \sub U_5,x$ 不为完全数
假设当 $n = k$ 时，仍有 $\forall X \sub U_k,x_k\gt y_k$ ，即 $x_k$ 不为完全数
则当 $n = k + 2$ 时，有 $U_{k+2}=U_k\cup \{k+2\}$
$\because x_k>y_k$ ，且显然 $k+2\gt 2$
$\therefore x_k\cdot (k+2)>y_k+(k+2)$
$\therefore$ 对 $\forall X \in U_{k+2}$ 有 $x_{k+2}\gt y_{k+2}$ ，即 $x_{k+2}$ 不为完全数
$\therefore$ 根据数学归纳法，对 $\forall X \in U$ 有 $x\gt y$ ，即 $x$ 不为完全数，即不存在奇数是完全数
$\therefore$ 完全数都是偶数成立