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边界层积分方程与马兰格尼效应

2022-07-21 05:07:00 【jedi-knight】

边界层的动量方程积分形式

参考自https://blog.csdn.net/ResumeProject/article/details/109970064
${\rm{d}} \over { {\rm{d}}x}}\left( {\int_0^\delta { {u^2}{\rm{d}}y} } \right) - {u_{\rm{E}}}{ {\rm{d}} \over { {\rm{d}}x}}\left( {\int_0^\delta {u{\rm{d}}y} } \right) = { { {\tau _{\rm{w}}}} \over \rho }$
对于马兰格尼问题,外部流动速度 ${u_{\rm{E}}}$ 为0，且壁面处的切应力 ${\tau _{\rm{w}}}$ 仅由温度梯度确定，故有
${\rm{d}} \over { {\rm{d}}x}}\left( {\int_0^\delta { {u^2}{\rm{d}}y} } \right) = { { {\sigma _{\rm{T}}}} \over \rho }{\left. { { { {\rm{d}}T} \over { {\rm{d}}x}}} \right|_{y = 0}}$
式中 ${\sigma _{\rm{T}}}$ 是张力温度系数，一般为负数。

边界层的能量方程积分形式

对于流速很低的情况，忽略耗散项，忽略壁面处的扩散导热，类比动量方程的推导过程，有
${\rm{d}} \over { {\rm{d}}x}}\left( {\int_0^{ {\delta _t}} {uT{\rm{d}}y} } \right) - {T_{\rm{E}}}{ {\rm{d}} \over { {\rm{d}}x}}\left( {\int_0^{ {\delta _t}} {u{\rm{d}}y} } \right) = 0$

求解

如果预先假设速度 $u$ 在 $y$ 方向的分布规律（多项式函数）、 $T$ 在 $y$ 方向的分布规律（多项式函数）以及边界层厚度的发展规律（类似于平板边界层），再考虑到热边界层厚度一般有如下关系
${\delta _t}} \over \delta } = {P^{ - {1 \over 3}}}$ 式中 $P$ 是普朗特数
那么可以通过数值方法求解壁面处速度 $u$ 在 $x$ 方向上的分布以及壁面处 $T$ 在 $x$ 方向的分布，进而精确计算马兰戈尼力