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线性薛定谔方程实现界面推移

2022-07-21 05:07:00 【jedi-knight】

线性薛定谔方程实现界面推移

考虑如下线性薛定谔方程
r 2 α 2 ∇ 2 T − T = 0 {r^2}{\alpha ^2}{\nabla ^2}T - T = 0 r2α2∇2T−T=0式中 r r r是界面推移的速率，单位 m / s {\rm{m/s}} m/s。 α \alpha α是扩散项系数，单位为 s { {\rm{s}}} s。 T T T是无量纲温度，单位为1
令
T = e − τ α T = {e^{ - {\tau \over \alpha }}} T=e−ατ​式中 τ \tau τ是时间场。代入线性薛定谔方程中有
r 2 α 2 ∇ 2 e − τ α − e − τ α = 0 {r^2}{\alpha ^2}{\nabla ^2}{e^{ - {\tau \over \alpha }}} - {e^{ - {\tau \over \alpha }}} = 0 r2α2∇2e−ατ​−e−ατ​=0 r 2 α 2 ∇ ⋅ ( − 1 α e − τ α ∇ τ ) − e − τ α = 0 {r^2}{\alpha ^2}\nabla \cdot \left( { - {1 \over \alpha }{e^{ - {\tau \over \alpha }}}\nabla \tau } \right) - {e^{ - {\tau \over \alpha }}} = 0 r2α2∇⋅(−α1​e−ατ​∇τ)−e−ατ​=0 r 2 α 2 ( 1 α 2 e − τ α ∣ ∇ τ ∣ 2 − 1 α e − τ α ∇ 2 τ ) − e − τ α = 0 {r^2}{\alpha ^2}\left( { {1 \over { {\alpha ^2}}}{e^{ - {\tau \over \alpha }}}{ {\left| {\nabla \tau } \right|}^2} - {1 \over \alpha }{e^{ - {\tau \over \alpha }}}{\nabla ^2}\tau } \right) - {e^{ - {\tau \over \alpha }}} = 0 r2α2(α21​e−ατ​∣∇τ∣2−α1​e−ατ​∇2τ)−e−ατ​=0 e − τ α ( r 2 ∣ ∇ τ ∣ 2 − r 2 α ∇ 2 τ − 1 ) = 0 {e^{ - {\tau \over \alpha }}}\left( { {r^2}{ {\left| {\nabla \tau } \right|}^2} - {r^2}\alpha {\nabla ^2}\tau - 1} \right) = 0 e−ατ​(r2∣∇τ∣2−r2α∇2τ−1)=0 ∣ ∇ τ ∣ 2 − α ∇ 2 τ − 1 r 2 = 0 {\left| {\nabla \tau } \right|^2} - \alpha {\nabla ^2}\tau - {1 \over { {r^2}}} = 0 ∣∇τ∣2−α∇2τ−r21​=0 ∣ ∇ τ ∣ 2 − 1 r 2 = α ∇ 2 τ {\left| {\nabla \tau } \right|^2} - {1 \over { {r^2}}} = \alpha {\nabla ^2}\tau ∣∇τ∣2−r21​=α∇2τ
可见求解了线性薛定谔方程就等价地求解了程函方程，也就获得了界面推移的结果。
τ = − α ln ⁡ T \tau = - \alpha \ln T τ=−αlnT
参考自Numerical Solving a Boundary Value Problem for the Eikonal Equation

求解案例

一个正方形可燃烧区域，左侧为高燃速材料，右侧为低燃速材料。上边界、左边界和下边界被点燃，右边界不燃烧。
以下是燃速分布
在这里插入图片描述
以下是无量纲温度分布
在这里插入图片描述
以下是点燃时间场分布
在这里插入图片描述
此方法虽然简单（只用使用有限元法求解一个对称线性方程组），但是界面间的精度还需进一步验证

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