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【概率和计数】

2022-07-20 01:18:00 【菜鸟炼丹师】

样本空间：样本空间表示某个实验所有可能结果的集合

事件：事件是样本空间的子集

概率的简单定义： $P(A)=\frac{事件A发生的频数}{样本空间事件个数}$

整体上我们使用的是乘法规则，即假设我们做了 $r$ 个独立的实验，第一次实验的实验结果有 $n_1$ 种，第二次实验结果有 $n_2$ 种，第 $r$ 次实验结果有 $n_r$ 种，那么这些组合实验的实验结果有 $n_1n_2...n_r$ 种

下面再来看一个例子：

假设我们从52张扑克牌中任取5张，选出来的牌打出三代二的可能性是多少？
首先我们看分母的概率是 $C_{52}^5=\frac{52!}{(52-5)!~5!}$ （这是高中二项分布的知识）
再来看分子，我们具体看其中的一种可能（三张7，两张10）
- 首先选出三张牌出自7的可能性为 $13C_4^3$
- 其次剩下的两张牌出自10的可能性为 $12C_4^2$
因此我们可以得到答案： $\frac{13C_4^312C_4^2}{C_{52}^5}$

再来看一下从 $n$ 个人中选择 $k$ 个人的问题

	order	don’t order
replace	$n^k$	$C_{n+k-1}^k$
don’t replace	$n (n - 1) ... (n - k + 1)$	$C_n^k$

如果我们熟悉了乘法规则，上述表格中的三种情况我们都可以轻松的填上，但对于replace & don’t order还是比较费力，我们来看一下这种情况应该如何去分析

首先我们来讨论一些极端情况：
- $k = 0$ ，此时结果就变成了 $C_{n-1}^0=1$ ，答案正确
- $k = 1$ ，此时结果变成了 $C_{n}^1=n$ ，答案正确
- $n = 2$ ，此时结果变成了 $C_{k+1}^k=k+1$ ，这个答案也是正确的，因为如果只有两个人，并且不考虑顺序，不选择A只可能选择B，因此我们只需要观察一个人的被选择次数即可，可能的结果是 ${0,1,...,k\}$ ，一共有 $k + 1$ 种可能性。
相对泛化一些，这种情况我们可以看做是从 $n$ 个盒子中选择出 $k$ 个小球来，由于他们是无序的，因此我们可以用 $n - 1$ 个间隔来区分来自于哪个盒子。因此结果就可以看作从 $n - 1 + k$ 个位置中选出 $k$ 个位置放小球，剩下的位置放间隔，即 $C_{n+k-1}^k$